☛ Résoudre une inéquation

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.
1. \(\dfrac{x}{2}-3<1-\dfrac{2x-1}{6}\)
2. \(2x-1+\dfrac{x+5}{2}>\dfrac{7}{2}+\dfrac{4x}{3}\)
3. \(\dfrac{3-x}{12}-\dfrac{x}{3}\leq1+\dfrac{3(x+1)}{4}\)

Solution

On remarque que toutes ces inéquations sont bien définies sur \(\mathbb{R}\).

1. \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x-1}{6}<4 \Leftrightarrow \dfrac{5x-1}{6}<4 \Leftrightarrow 5x-1<24\iff x<\dfrac{25}{5}\ \Leftrightarrow x<5\)
Donc \(\mathscr{S}=]-\infty;5[\).

2. \(\dfrac{12x-6}{6}+\dfrac{3x+15}{6}>\dfrac{21}{6}+\dfrac{8x}{6} \Leftrightarrow \dfrac{15x+9}{6}>\dfrac{8x+21}{6}\)
\(\Leftrightarrow 15x+9>8x+21 \Leftrightarrow 15x-8x>21-9 \Leftrightarrow 7x>12 \Leftrightarrow x>\dfrac{12}{7}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left]\dfrac{12}{7};+\infty\right[\).

3. \(\dfrac{3-x-4x}{12}\leq\dfrac{12+9x+9}{12} \Leftrightarrow 3-5x\leq 9x+21 \Leftrightarrow-5x-9x \leq 21-3\)
\(\Leftrightarrow-14x \leq 18 \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{18}{14} \Leftrightarrow x\geq-\dfrac{9}{7}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left[-\dfrac{9}{7};+\infty\right[\).